🔤 Calcul littéral et équations en 5e : cours et exercices corrigés
Quand les lettres remplacent les nombres : premiers pas vers l'algèbre.
Le cours
En calcul littéral, une lettre représente un nombre : 2x signifie 2 × x. Pour calculer une expression, on substitue : 3x + 2 pour x = 4 donne 3 × 4 + 2 = 14. On produit ainsi des formules : double 2n, carré n², successeur n + 1.
La distributivité permet de développer, c'est-à-dire de supprimer les parenthèses en multipliant le facteur par chaque terme : a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac. Par exemple 3(x + 5) = 3x + 15 et 7(x − 2) = 7x − 14. La méthode reste la même avec plusieurs termes : 2(x + 4 − 3) = 2x + 8 − 6. Elle sert aussi à calculer astucieusement (6 × 102 = 6×100 + 6×2 = 612) et à réduire : 5x + 3x = 8x.
Lue dans l'autre sens, la même relation permet de factoriser : on repère un facteur commun et on le met devant une parenthèse. ka + kb = k(a + b) et ka − kb = k(a − b). Par exemple 6x + 9 = 3(2x + 3) (facteur commun 3) et 2x + 5x = x(2 + 5) = 7x. Factoriser est l'opération inverse de développer, ce qui permet de vérifier son résultat.
Une équation se résout par l'opération inverse : si 3x = 12 alors x = 12 ÷ 3 = 4 ; si x + 7 = 15 alors x = 15 − 7 = 8. On vérifie toujours la solution dans l'équation de départ !
💡 À retenir
- Substituer = remplacer la lettre par sa valeur
- Développer : a(b + c) = ab + ac et a(b − c) = ab − ac
- Factoriser (l'inverse) : ka + kb = k(a + b)
- Réduire : ax + bx = (a+b)x
- ax = c → x = c ÷ a · x + b = c → x = c − b
✏️ Exercices corrigés
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